10
Метод Рунге-Ричардсона позволяет определить порядок и точность численного метода интегри-
рования, а так же получить уточнённое приближенное решение. Основная идея состоит в вычислении
приближения выбранным методом с шагом τ, затем с шагом
ατ
и
α
2
τ
(0 <
α
< 1), и дальнейшем рас-
смотрении разностей погрешностей для этих трех вычислений.
,
*
,
*
,
*
3
2
1
2
3
3
2
2
1
1
p
p
p
C
u
y
C
u
y
C
u
y

где
u
*
точное
решение;
y
1
,
y
2
,
y
3
приближения
с
шагом
τ
,
ατ
,
и
α
2
τ
;
C
1
τ
p
1
,
C
2
(
ατ
)
p
2
,
C
3
(
α
2
τ
)
p
3
— погрешности соответствующих приближений.
Если шаг τ мал, то справедливы оценки:
2
1
3
2
log
y
y
y
y
p
,
p
p
p
p
p
p
p
y
y
y
y
y
y
C
2
3
1
2
3
2
2
1
1
1
.
Здесь
p
— оценка порядка метода, а зная константу C можно оценить погрешности соответствующих
приближений
p
p
y
y
C
1
2
1
1
,
p
p
p
y
y
C

1
)
(
2
1
2
,
p
p
p
y
y
C
2
2
1
2
3
1
)
(
.
Довольно часто выбирают
2
1
.
Для получения эталонного решения делают серию сгущений основной сетки. Для каждой после-
довательно идущей тройки получают оценку порядка и точности приближения. Сетку продолжают
сгущать до тех пор, пока это возможно, либо погрешность не перестанет уменьшаться.
2.1. Линейная однокомпонентная задача
Это простейшая задача, содержащая одно уравнение с одним запаздыванием и имеющее точное
аналитическое решение:
]
,
0
[
),
(
)
(
T
t
t
u
t
u
,
θ = 1, T = 10.
Начальные условия согласуются с дифференциальным уравнением:
1
)
0
(
]
0
,
[
,
1
)
(
u
t
t
u
.