13
Все методы сплайн-интегрирования в качестве вложенной сетки используют равномерную сетку.
В Таблице 4 для простоты выводятся только наиболее точные приближения, их абсолютная погреш-
ность и порядок метода. Сплайн(
k
) — метод сплайн-интегрирования с использованием сплайна
(
k -
1) степени.
Таблица 4. Решение линейной задачи различными сплайн-методами.
Метод
Приближение
Погрешность
Порядок
Сплайн3
3,268078845226096200E+0002
1,655855201531257610E-0002
2,000735512610197880E+0000
Сплайн4
3,267913169220535610E+0002
4,222860608167260840E-0008
4,000149123535628770E+0000
Сплайн5
3,267913169689782100E+0002
4,691751205317661920E-0009
4,000281681224977700E+0000
Сплайн6
3,267913169642857010E+0002
1,300448575776151960E-0014
5,999433776803491410E+0000
Сплайн7
3,267913169642857150E+0002
1,230576530155670510E-0015
5,993793872191951770E+0000
Сплайн8
3,267913169642857140E+0002
6,684467794097296670E-0016
-1,765534746362977060E+0000
Методы Сплайн4 и Сплайн6 имеют завышенный порядок, связанный с проявлениями симметрий
в разложении в ряд Тейлора. У метода Сплайна8 порядок должен быть равен 8, но в примере подоб-
ную оценку получить не удалось из-за того, что погрешность оказалась на уровне мантиссы.
Задача 2.
Эталонное решение было получено методом экстраполяции Рунге-Ричардсона и пока-
зано на Рисунок 3. На Рисунке 4 показаны сетки при различных погрешностях, полученные при
автоматическом выборе шага у метода сплайн-интегрирования третьей степени
В Таблице 5 приведены статистические данные, показывающие, хорошо ли работает стратегия
автоматического определения величины шага (в методе Сплайн4). Видно, что встречаются случаи
завышения величины шага, однако, за одну итерацию не было отброшено более чем пять шагов
подряд. При различных значениях погрешности tolerance стратегия ведет себя схожим образом. Это
говорит, что стратегия вполне работоспособная.
На Рисунке 5 приведено сравнение методов Сплайн4 и РК3. Как можно видеть по быстродейст-
вию метод Сплайн4 опережает РК3, это связано с более высоким порядком метода. И по точности
результатов данный метод имеет лучшие характеристики.
На Рисунке 6 приведено сравнение методов Сплайн4 и ДП5. В этом случае метод сплайн-
интегрирования по быстродействию уже заметно отстает от классического метода. Однако зависи-
мость достигаемой погрешности от задаваемой у метода Сплайн4 ведет себя более предсказуемо, чем
у ДП5.