2
e-mail: pdshirkov@gmail.com
This paper is dedicated to research of new approach for numerical integration of the delay differential
equations systems. New methods are based on building step by step vector spline function (for each compo-
nents of the solution), which is the approximation of the sought function. The approximation is continuous
and smooth function. Such properties are necessary for the solution of problem of the optimum choice dy-
namic system parameter, which appears, for instance, in medicine and immunology.
New spline methods are equivalent to the implicit continuous Runge-Kutta collocation methods. A-
stability of new methods have been proved. Benchmark analysis is organized for checking out of efficiency of
the spline method in contrast with classic methods such as explicit Runge–Kutta methods. The advantages
and defects were revealed of the proposed approach.
Keywords:
spline methods, continuous and smooth function, A-stability.
Введение
Задача Коши для систем дифференциальных уравнений с запаздываниями (DDE — delay
differential equations) может быть записана в виде:
,
]
0
,
[
]
,
0
[
),
(
)
(
)],
(
),...,
(
),
(
,
[
)
(
2
1
t
T
t
t
t
u
u
u
u
t
F
t
u
dt
d
k
(1)
где
β
i
(
i=
1
k)
параметры
запаздывания,
максимальное
запаздывание;
t
t
k
,...,
,
2
1
;
n
k
n
R
R
R
F
)
(
:
,
n
R
t
u
)
(
— искомая вектор-функция;
n
R
t
)
(
начальные условия.
Системы подобного типа широко применяются для описания процессов в электрических цепях,
биологии, иммунологии, физиологии и так далее. Теория таких систем широко развивалась во второй
половине 20-ого столетия, в том числе - благодаря работам математиков отечественной школы [1,2].
Данный класс систем имеет множество обобщений со своими особенностями. Например: вели-
чина запаздывания может меняться в зависимости от времени и самого решения; правая часть систе-
мы может включать не только запаздывающие компоненты решения, но и их производные; началь-
ные условия могут быть не согласованны с системой дифференциальных уравнений либо задаваться
разрывными функциями. Всё это может вносить большие осложнения, вплоть до нарушения единст-
венности решения начальной задачи [2].
Классические методы основываются на совместном использовании методов численного решения
обыкновенных дифференциальных уравнений, например явных методов Рунге-Кутты, и аппроксима-
ции запаздывающих переменных, например, методами интерполяции сеточных функций (смотри
более подробно [3,4]).
В явных методах не нужно решать никаких нелинейных систем уравнений. В результате эти ме-
тоды являются самыми быстрыми. Однако их применение для решения жестких систем дифференци-
альных уравнений весьма проблематично из-за слабых свойств устойчивости [5,6].
Явные методы Рунге-Кутты задаются с помощью таблицы Бутчера, а переход в новую точку
осуществляется по известным формулам
)
,
(
1
s
j
j
ij
n
i
n
i
k
a
y
c
t
f
k
,
s
i
,
1
,
s
j
j
j
i
i
k
b
y
y
1
1
.