3
Желательно чтобы величина шага интегрирования выбиралась автоматически, так как это эко-
номит вычислительные затраты и помогает избежать некоторых проблем, связанных с прохождением
решения через особые точки (например такие, в которых нарушается гладкость). Классические стра-
тегии выбора шага приводятся в [5,6,7].
Численная интерполяция необходима для получения значений искомой функции
между узлами
разностного приближения, которые требуются для вычисления правой части. В качестве интерполи-
рующих функций чаще всего используются интерполяционные многочлены Лагранжа, Эрмита,
Ньютона [8].
В данной работе предлагается новый способ получения численного решения задачи (1), основан-
ный на пошаговом построении векторной сплайн-функции, компоненты который удовлетворяют
исходной системе уравнений и начальным условиям. Получаемое решение сразу является непрерыв-
но-дифференцируемой функцией, что необходимо для решения задач оптимизации управляющих
параметров в задачах иммунологии и медицины (см., например, [9]).
1. Метод сплайн-интегрирования
Методы, в которых используются сплайны, именуются сплайн-методами. Таким образом,
сплайн-методы
решения
систем
дифференциальных
уравнений
можно
назвать
сплайн-
интегрированием
.
В отличие от классических методов в методе сплайн-интегрирования предполагается сразу стро-
ить аппроксимирующую сплайн функцию. Чтобы эта функция была приближением решения доста-
точно наложить условия соответствия её начальной задаче Коши в некоторых точках.
На каждом шаге интегрирования неизвестная вектор-функция, состоящая из
n
компонент, рас-
сматривается как
n
многочленов некоторой степени
m
. На многочлены накладываются определённые
условия, которые однозначно определяют их коэффициенты. Эти же многочлены используется для
получения приближенных значений вектора-функции между узлами сетки интегрирования. В резуль-
тате, после нескольких шагов интегрирования получится приближение решения в виде кусочно-
многочленной функции, которую можно называть сплайн-функцией или просто сплайном [10]:
m
i
m
j
i
i
j
i
i
j
i
i
j
i
j
i
j
i
t
t
m
a
t
t
a
t
t
a
t
t
a
a
t
S
)
(
!
...
)
(
6
)
(
2
)
(
)
(
,
,
3
3
,
,
2
2
,
,
1
,
,
0
,
,
,
,
где
i
— номер шага интегрирование;
j
— номер компоненты;
m
j
i
j
i
a
a
,
,
0
,
,
...
— коэффициенты сплайна.
Сложность одного шага интегрирования для сплайна невысокой степени и относительно не-
сложной правой части системы дифференциальных уравнений составляет
3
3
m
n
O
арифметических операций.
Данные методы схожи с полностью неявными непрерывными коллокационными методами Рун-
ге-Кутты [5,7] и отличаются от них лишь тем, что решение сразу представляется в удобном для вы-
числений виде.
1.1. Условия, накладываемые на коэффициенты сплайна
Предположим, что сплайн-функция уже определена на отрезке времени от
t
0
до
t
i
. На следующем
шаге интегрирования требуется построить следующий кусок сплайна в виде многочленов
 
t
S
j
i
,
для