4
каждой компоненты решения, который задаст поведение сплайна на интервале
]
,
(
1
i
i
t
t
. Этот шаг
будем называть очередным или текущим шагом интегрирования.
Количество коэффициентов для текущего куска сплайна ровно
)
1
(
m
n
. Чтобы однозначно их
определить, необходимо составить и решить нелинейную систему уравнений, нелинейную потому,
что она составляется из условий соответствия сплайна системе нелинейных дифференциальных
уравнений в некоторых точках.
Условия, которые накладываются на коэффициенты многочленов, определяют специфику при-
ближения. Они образуют систему и могут быть следующими:
1.
 
 
i
j
i
i
j
i
t
S
t
S
,
1
,
(непрерывность сплайна).
2.
t
i
i
i
j
i
i
i
j
i
S
t
t
t
F
t
t
t
S
dt
d
),
(
)
(
1
1
1
1
,
,
t
i
i
k
i
j
i
i
k
i
j
i
S
t
t
t
F
t
t
t
S
dt
d
),
(
)
(
1
1
,
,
(2)
t
i
i
m
i
j
i
i
m
i
j
i
S
t
t
t
F
t
t
t
S
dt
d
),
(
)
(
1
1
,
.
Здесь
t
S
— кусочно-многочленная функция построенная к текущему моменту времени;
)
(
,
t
S
j
i
отдельный кусок сплайна;
i
— номер узла сетки;
j
— номер компоненты системы;
n
— количество компонент системы;
m
— максимальная степень многочлена;
0
m
k
...
...
1
1 - коэффициенты разбиения интервала
]
;
[
1
i
i
t
t
для получения дополнительных
условий соответствия сплайна системе в промежуточных точках. В простейшем случае его задает
равномерная сетка. При большой степени сплайна (
m
> 7) лучше использовать Чебышевкую сетку.
Получившуюся нелинейную систему для неизвестных коэффициентов сплайна можно решить
методом Ньютона [8].
1.2. Нахождение коэффициентов сплайна
На практике оказывается, что для построения сплайна удобнее решать систему нелинейных
уравнений относительно производных в промежуточных точках, а по ним находить значения коэф-
фициентов. Рассмотрим случай, когда сплайн кубический и система дифференциальных уравнений
имеет только одно уравнение, т.е.
n =
1,
m =
3. Тогда система (2) запишется следующим образом:
1.
)
(
)
(
1
i
i
i
i
t
S
t
S
;
2.
 
t
i
i
i
S
t
F
t
S
dt
d
,
;
3.
t
i
i
i
i
i
S
t
t
F
t
t
S
dt
d
,
2
2
1
1
;
(3)