7
1.4. Анализ устойчивости метода
Центральной темой в теории численных методов решения систем дифференциальных уравнений,
и в особенности жестких уравнений, является определение того, при каких обстоятельствах и в какой
степени численный метод столь же устойчив (т.е. так же чувствителен к возмущениям), как и диффе-
ренциальные уравнения [5, 6].
Устойчивость методов численного интегрирования жестких систем ОДУ обычно исследуется на
примере скалярного уравнения
u
u
,
0
)
0
(
u
u
.
Положим, что численный метод, применяемый к решению этого уравнения, может быть записан
в виде
n
n
y
z
R
y
)
(
1
,
z
,
где
R
(
z
) называется функцией устойчивости.
Численный метод для решения уравнения является абсолютно устойчивым, если выполнено ус-
ловие
1
)
(
z
R
.
Из определения следует, что
n
n
y
y
1
.
Это требование является естественным при
0
)
Re(
z
, поскольку в таком случае модуль точного
решения есть невозрастающая функция.
Множество всех точек
z
, для которых
1
)
Re(
z
, называется областью абсолютной устойчиво-
сти. В зависимости от функции устойчивости
)
(
z
R
, можно выделить несколько типов устойчивости.
Например,
A
,
A(α)
,
L
,
B
– устойчивость.
Одношаговые методы можно классифицировать в соответствие с их типом устойчивости, напри-
мер:
1.
A
-устойчивые
2.
A(α)
-устойчивые
3.
L
-устойчивые
4.
B
-устойчивые
Анализ устойчивости — задача не простая (см., например, [6]), однако, если для численного ме-
тода удается построить аналогичный метод Рунге-Кутты, например, составив соответствующую
таблицу Бутчера, то можно воспользоваться стандартными критериями устойчивости для методов
Рунге-Кутты [11].
Составим таблицу Бутчера для методов сплайн-интегрирования. Рассмотрим подробно
i
-й шаг
метода для
j
-й компоненты решения. На этом шаге требуется подобрать многочлен
S
i,j
(
t
) степени
m
,
который
удовлетворяет
дифференциальному
уравнению
на
некоторой
вложенной
сетке
1
...
...
0
1
m
k
в интервале интегрирования, и при этом согласовать его значение на левой гра-
нице со значением прошлого куска
S
i-
1,j
(
t
) в той же самой точке. Этот многочлен получается в резуль-
тате некоторого итерационного процесса. Предположим, что процесс сходится, и в результате значе-