8
ния его производных
S’
m
(
t
) на вложенной сетке
1
...
...
0
1
m
k
становятся равными значениям
правой части дифференциального уравнения в тех же точках. Справедливо следующее утверждение:
)
(
)
(
)
(
1
0
i
i
i
i
i
i
t
S
d
h
t
S
h
h
t
S
,
(6)
где
i
i
t
t
h
1
— шаг интегрирования.
Но
)
(
h
t
S
i
i
— полином степени
m
-1, проходящий через
m
точек вида
m
k
h
t
S
h
t
y
x
k
i
i
k
i
k
k
,
1
,
)
(
,
)
,
(
и он может быть записан в интерполяционной форме. Для этой цели воспользуемся интерполяцион-
ной формулой Ньютона, имеем:
)
(
)
(
1
h
t
P
h
t
S
i
m
i
i
 
...
]
,
,
[
]
,
[
]
[
1
2
3
2
1
1
2
1
1
D
h
h
h
h
D
h
h
D
где
)
(
]
[
h
t
S
D
k
i
i
k
,
h
h
D
D
D
j
i
j
i
j
i
j
i
]
,...
[
]
,...
[
]
,...
[
1
1
- разделённые разности.
Как можно заметить, в формуле
)
(
1
h
t
P
i
m
величина
h
сокращается. Подставляя её в (6),
окончательно получим:
 
m
k
k
k
i
i
i
m
i
i
i
i
D
h
t
S
d
h
t
P
t
S
h
t
S
1
1
0
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Здесь
 
k
— набор функций от
θ,
который зависит от сетки
1
...
...
0
1
m
k
.
Покажем аналогию с полностью неявными непрерывными коллокационными методами Рунге-
Кутты. Коэффициенты
D
k
являются стадийными. Запишем необходимые стадийные уравнения:
))
(
,
(
h
t
S
h
t
F
D
k
i
i
k
i
k
,
m
j
k
j
k
k
i
i
m
j
k
k
j
i
i
k
i
i
D
h
t
S
D
h
t
S
h
t
S
1
,
1
1
1
)
(
)
(
)
(
,
m
k
,
1
.
Теперь можно заполнить таблицу Бутчера (см. Таблицу 1).
Таблица 1. Таблица Бутчера, построенная для сплайн-метода
λ
1
a
1,1
a
1,2
a
1,j
a
1,m
λ
2
a
2,1
a
2,2
a
2,j
a
2,m
λ
k
a
k,1
a
k,2
a
k,j
a
k,m
λ
m
a
m,1
a
m,2
a
m,j
a
m,m
)
(
y
 
1
 
2
 
j
 
m
Рассмотрим пару примеров. Пусть вложенная сетка
1
...
...
0
1
m
k
является равномерной, и
1
,
0
1
m
. Вычислим таблицу Бутчера для случаев
m=2
и
m=3
. Результаты приведены в Таб-
лицах 2,3 соответственно.