13
3.3. Задача Капса
Это автономная сверхжесткая (из-за параметра) тестовая задача [15], содержащая две компоненты
решения и не имеющая запаздываний:
]
,
0
(
,
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
T
t
x
x
x
x
x
x
x
где
12
10
,
1
T
.
Начальная задача Коши:
1
)
0
(
1
)
0
(
2
1
x
x
.
Задача Капса имеет плавное решение x
1
(t) = exp(-2t), x
2
(t) = exp(-t), не зависящее от параметра жесткости
μ (собственные значения якобиана при больших μ примерно равны – μ, –1).
Несмотря на то, что задача Коши не имеет запаздываний, было принято решение интерполировать
результирующие функции, получаемые в разностном виде, чтобы посмотреть точность интерполяции.
Следует так же заметить, что матрица Якоби для методов Розенброка считается аналитически, то есть точно.
В качестве оценки погрешности методов была выбрана норма C (для разностей приближенного решения и
точного решения (для двух компонент) в точках на всем отрезке интегрирования (от 0 до 1) с постоянным
интервалом (0,01)). Количество шагов у всех методов ограниченно одним миллионом. Результаты
тестирования показаны на рисунках 3, 4, 5, 6.
Рисунок 3. Достигнутая точность — трудоемкость.
Точность на рисунках отображает количество значащих цифр, а трудоемкость считается как
time
10
log
,
где
time
— время выполнения программы в миллисекундах.