4
где
)
(
i
x
x
F
— матрица Якоби.
Вместо этого воспользуемся регуляризацией системы (4) по Тихонову. Пусть матрица Якоби равна A,
тогда приближенное решение (4) можно найти из следующей системы уравнений:
*
)
(
v
f
A
v
E
A
A
T
T
(5)
где
— параметр регуляризации,
E
— единичная матрица,
i
x
v
,
)
(
i
x
F
f
,
*
v
— желаемое
i
x
В нашем случае
0
*
v
. Параметр регуляризации
влияет на скорость сходимости получившегося
метода Ньютона, чем он больше, тем сходимость медленнее и может вообще остановиться. С другой стороны,
если взять очень маленький параметр, то система (5) может дать очень крупные значения и метод Ньютона
разойдется. Возможное значение параметра
12
10
.
1.4. Непрерывный метод Розенброка на основе стадий
Чтобы метод был непрерывным, добавляют дополнительные условия порядка относительно параметра θ,
зависящего от времени [5]. Решение ищется в виде:
 
n
i
m
j
j
j
i
i
p
k
y
1
1
,
(6)
где
i
k
— стадии метода Розенброка,
j
i
p
,
— параметры задаваемые методом,
 
1
..
0
1
n
n
n
t
t
t
t
.
Чаще всего бывает, что порядок (6) меньше чем задаваемый основной формулой. Так же формула (6)
совпадает с основной при
1
.
Итак, условия порядка записываются относительно параметра θ. Допустим, у нас должны выполняться
четыре условия порядка (3-й порядок для автономных систем). Тогда необходимо выполнения
m
4
условий
порядка. Если параметров в (6) больше, то ещё
n
условий должно выполняться, для того, чтобы (6) совпала с
основной формулой при
1
. Если параметров больше чем
)
4
(
n
m
, то можно воспользоваться методом
Ньютона с регуляризацией СЛАУ.
Для методов с комплексными коэффициентами решение ищется в виде:
 
n
i
m
j
j
j
i
i
p
k
y
1
1
,
Re
(7)
где
i
k
— комплексные стадии,
j
i
p
,
— комплексные параметры,
1
..
0
.
2. Примеры уточнения методов Розенброка
Для взятых из литературы методов было проведено уточнение коэффициентов до точности 30 и более
значащих цифр. Так же для них приводятся коэффициенты непрерывных методов основанных на стадиях
данных методов.
2.1. (4,2)-метод
Данный метод взят из [1]. Это L-устойчивый метод четвертого порядка. Метод задается следующими
формулами:
n
n
m
i
i
i
n
n
f
h
a
E
D
k
p
y
y
,
1
1
)
(
1
n
n
y
f
h
k
D
,
1
2
k
k
D
n
2
32
2
32
1
31
3
)
(
k
k
k
y
f
h
k
D
n
n
2
42
3
4
k
k
k
D
n