1
УДК 519.622.2
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СВЕРХЖЁСТКИХ ОДУ
Власов Сергей Александрович
1
1
Магистр техники и технологии по направлению «Системный анализ и управление», фрилансер;
E-mail: vlasovs2@yandex.ru
Работа посвящена исследованию методов интегрирования задачи Коши для сверхжёстких систем
обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследовались следующие методы: полностью неявные и
диагонально неявные методы Рунге-Кутты, методы Розенброка, коллокационные методы. Поиск решения
производится на основе вычислений повышенной точности.
Было выполнено экспериментальное сравнение десятка различных методов, и полученные результаты
представлены в виде графиков зависимостей "настраиваемая точность — точность полученного решения" и
"точность полученного решения — трудоёмкость".
В работу входит описание методов поиска коэффициентов непрерывных методов Розенброка до
точности 30 и более значащих цифр.
Ключевые слова: сверхжёсткие обыкновенные дифференциальные уравнения, непрерывные методы
Розенброка, вычисления повышенной точности.
2
NUMERICAL METHODS FOR SUPER STIFF ODE
Vlasov Sergey Aleksandrovich
1
1
Master of Engineering and Technology, freelancer;
E-mail: vlasovs2@yandex.ru
This work is devoted to the study of integration methods for the Cauchy problem for super stiff systems of
ordinary differential equations. The following methods were investigated: FIRK and DIRK methods, Rosenbrock
methods, and collocation methods. The search for a solution is based on calculations of high precision
computations.
An experimental comparison of a dozen different methods was carried out, and the results obtained are
presented in the form of graphs of dependencies "adjustable accuracy — accuracy of the obtained solution" and
"accuracy of the obtained solution — computations time".
The work includes a description of methods for finding the coefficients of multirate Rosenbrock methods up to
an accuracy of 30 or more significant digits.
Keywords: super stiff ordinary differential equations, multirate Rosenbrock methods, high precision
computations.
3
Введение
Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — прикладная
задача, относящаяся к традиционному математическому моделированию.
Жёсткой системой называется такая система ОДУ, численное решение которой явными методами
(например, методами Рунге – Кутты или Адамса) является неудовлетворительным из-за резкого увеличения
числа вычислений. Такие системы часто решают неявными методами или явно-неявными схемами типа
Розенброка, которые дают обычно несравненно лучший результат, чем явные методы. Сверхжёсткими
называют системы ОДУ со степенью жёсткости более 10
6
[1].
Стандартная точность чисел с плавающей точкой современных компьютеров: от 15 до 20 цифр в
мантиссе. Этого бывает недостаточно, особенно в плохо обусловленных задачах и в задачах с внутренними
пограничными слоями (контрастными структурами) [2]. В них ошибки начальных данных, а также ошибки
округления, неизбежно возникающие в ходе расчёта, приводят к огромной потере точности. Для них нередко
приходится использовать расширенную точность (30 и более цифр), чтобы е