1
УДК 519.622.2
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СВЕРХЖЁСТКИХ ОДУ
Власов Сергей Александрович
1
1
Магистр техники и технологии по направлению «Системный анализ и управление», фрилансер;
E-mail: vlasovs2@yandex.ru
Работа посвящена исследованию методов интегрирования задачи Коши для сверхжёстких систем
обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследовались следующие методы: полностью неявные и
диагонально неявные методы Рунге-Кутты, методы Розенброка, коллокационные методы. Поиск решения
производится на основе вычислений повышенной точности.
Было выполнено экспериментальное сравнение десятка различных методов, и полученные результаты
представлены в виде графиков зависимостей "настраиваемая точность — точность полученного решения" и
"точность полученного решения — трудоёмкость".
В работу входит описание методов поиска коэффициентов непрерывных методов Розенброка до
точности 30 и более значащих цифр.
Ключевые слова: сверхжёсткие обыкновенные дифференциальные уравнения, непрерывные методы
Розенброка, вычисления повышенной точности.
2
NUMERICAL METHODS FOR SUPER STIFF ODE
Vlasov Sergey Aleksandrovich
1
1
Master of technology and technologies, freelancer;
E-mail: vlasovs2@yandex.ru
This work is devoted to the study of integration methods for the Cauchy problem for super stiff systems of
ordinary differential equations. The following methods were investigated: FIRK and DIRK methods, Rosenbrock
methods, and collocation methods. The search for a solution is based on calculations of high precision
computations.
An experimental comparison of a dozen different methods was carried out, and the results obtained are
presented in the form of graphs of dependencies "adjustable accuracy accuracy of the obtained solution" and
"accuracy of the obtained solution — computations time".
The work includes a description of methods for finding the coefficients of multirate Rosenbrock methods up to
an accuracy of 30 or more significant digits.
Keywords: super stiff ordinary differential equations, multirate Rosenbrock methods, high precision
computations.
3
Введение
Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) прикладная
задача, относящаяся к традиционному математическому моделированию.
Жёсткой системой называется такая система ОДУ, численное решение которой явными методами
(например, методами Рунге Кутты или Адамса) является неудовлетворительным из-за резкого увеличения
числа вычислений. Такие системы часто решают неявными методами или явно-неявными схемами типа
Розенброка, которые дают обычно несравненно лучший результат, чем явные методы. Сверхжёсткими
называют системы ОДУ со степенью жёсткости более 10
6
[1].
Стандартная точность чисел с плавающей точкой современных компьютеров: от 15 до 20 цифр в
мантиссе. Этого бывает недостаточно, особенно в плохо обусловленных задачах и в задачах с внутренними
пограничными слоями онтрастными структурами) [2]. В них ошибки начальных данных, а также ошибки
округления, неизбежно возникающие в ходе расчёта, приводят к огромной потере точности. Для них нередко
приходится использовать расширенную точность (30